Analiză matematică
Integrale
În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a unei integrale se numește integrare. Spre deosebire de noțiunea înrudită de derivată, există mai multe definiții posibile ale integralei, fiecare cu suportul său tehnic. Acestea sunt însă compatibile. Oricare două moduri de integrare a unei funcții vor da aceleași rezultate când ambele sunt definite.
În mod intuitiv, integrala unei funcții continue, pozitive, f, de variabilă reală și luând valori reale, între două puncte a și b, reprezintă valoarea ariei mărginite de segmentele x=a, x=b, axa x și graficul funcției f. Formal,considerand S={(x,y)∈R:a≤x≤b,0≤y≤f(x)},atunic integrala lui f intre a si b este masura lui S.
Termenul "integrală" se poate referi și la noțiunea de primitivă a unei funcții, adică o funcție F a cărei derivată este funcția dată f. În acest caz, se numește integrală nedefinită, pe când integralele discutate anterior sunt numite integrale definite.
Calculul integralelor:
Cea mai simplă tehnică de calcul a integralelor de o singură variabilă reală este cea bazată pe teorema fundamentală a calculului integral:
-
Se alege o funcție f(x) și un interval [a, b].
-
Se găsește o primitiva a lui f, adică o funcție F astfel încât F' = f.
-
Conform teoremei fundamentale, dacă integrandul și integrala nu au singularități pe calea de integrare,
4.Deci valoarea integralei este F(b) − F(a).Se observă că integrala nu este chiar primitiva, ci teorema fundamentală permite folosirea primitivelor la evaluarea integralelor definite.Rareori este posibilă găsirea a unei funcții cu proprietatea că scrierea unei primitive a ei este imediată. Deseori, este nevoie să se folosească una din multiplele tehnici dezvoltate pentru calculul integralei si anume integrarea prin substitutie,integrarea prin parti
sau folosirea formulelor de integrare din tabelul alaturat:
